Senin, 14 September 2015

Animasi Rumus-Rumus Trigonometri

Hasil gambar untuk animasi rumus trigonometri 

Hasil gambar untuk animasi rumus trigonometri

Contoh Soal

Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)



Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)

Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)

Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:


Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah  dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5

sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
  • Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
  • Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan



b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan




Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5,  cos A = 4/5
sin B = 12/13,  cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut




Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R

Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut  P dan Q

sin P = 3/5,   cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x



Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)

Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:



Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:



Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....

Dengan rumus selisih dua sudut:



Jadi sin (α − β) = 1/5 √5

Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102

Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8

Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°

Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh



sin A = 3/5
cos A = 4/5

sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C = 180 − (A + B)

Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:

sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B

Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
sumber : http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/58-11-sma-trigonometri-jumlah-dan-selisih-dua-sudut
                   

9. Himpunan penyelesaian dari √6 sin x + √2 cos x = 2 dimana 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
Penyelesaian:
tri1















10. Himpunan penyelesaian dari sin x – √3 cos x = 2 dimana 0 ≤ x ≤ 180 adalah…
Penyelesaian :
tri2


















sumber : https://istanamengajar.wordpress.com/2014/02/13/soal-dan-pembahasan-persamaan-trigonometri-bentuk-a-sin-x-b-cos-x-c/

Materi Rumus-Rumus Trigonometri

Jumlah & selisih sudut:
rumus
Sudut rangkap:
rumus
Jumlah atau selisih à perkalian:
rumus
Perkalian  jumlah atau selisih:
rumus

Senin, 07 September 2015

Animasi Peluang

Hasil gambar untuk animasi peluang 

Hasil gambar untuk animasi peluang 

Hasil gambar untuk animasi peluang

contoh Soal Peluang


Soal No. 1
Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3.

Pembahasan
Ada dua kejadian, namakan kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.

A = kejadian munculnya angka genap.
B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3.

Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6

A = {2, 4, 6}
n(A) = 3
maka peluang kejadian A
P (A) = n (A) / n(S) = 3 / 6

B = {4, 5, 6}
n(B) = 3
maka peluang kejadian B
P (B) = n(B) / n(S) = 3 / 6

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ B
A ∩ B = {4, 6}
n(A ∩ B) = 2
Sehingga peluang A ∩ B
P (A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (S) = 2 / 6

Rumus peluang kejadian "A atau B"
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 3/6 + 3/6 − 2/6
= 4/6 = 2/3

Soal No. 2
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....
A. 2/36
B. 3/36
C. 4/36
D. 5/36
D. 6/36

Pembahasan
Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,
A = jumlah angka adalah 3
B = jumlah angka adalah 10

Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh
A = {(1, 2), (2, 1)}
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

n (A) = 2 → P(A) = 2/36
n (B) = 3 → P(B) = 3/36
Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A ∩B) = 0

Sehingga peluang "A atau B" adalah
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
= 2/36 + 3/36
= 5/36

Soal No. 3
Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah....
A. 4/5
B. 7/10
C. 3/6
D. 2/6
E. 1/10

Pembahasan
Jumlah semua bola yang ada dalam kantong adalah
4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu bola.
A = kejadian terambil bola merah.
B = kejadian terambil bola hitam.

Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:
P(A) = 4/10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:
P(B) = 3/10

Peluang terambil bola merah atau hitam:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
= 4/10 + 3/10
= 7/10
Catatan:
Untuk
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Dinamakan kejadian saling asing atau saling lepas.

Soal No. 4
Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:
a) suka matematika dan fisika
b) suka matematika atau fisika

Pembahasan
A = kejadian yang terpilih suka matematika
B = kejadian yang terpilih suka fisika
P(A) = 10/30
P(B) = 15/30

a) suka matematika dan fisika
yang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anak
P(A∩B) = 5/30

b) suka matematika atau fisika
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 10/30 + 15/30 − 5/30
= 20/30
Soal No. 5
Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....
A. 1/40
B. 3/20
C. 3/8
D. 2/5
E. 31/40

Pembahasan
P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.
Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalah
P(A) = 2/5

P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II.
Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah
P (B) = 3/8

Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 2/5 × 3/8
= 6/40
= 3/20

Penjelasan panjangnya sebagai berikut:



Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:
M1, M2, P1, P2, P3.

Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:
m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil)

Menentukan Ruang sampelnya
Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:
M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II:



S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }
n(S) = 40

A = terambil bola merah dari kotak I.
A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) }
n(A) = 16
Sehingga P(A) = 16/40

B = terambil bola putih dari kotak II
B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}
n(B) = 15
Jadi P(B) = 15/40

Irisan antara A dan B (yang sama):
A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3}
n(A ∩ B ) = 6
Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20

Catatan:
Untuk
P (A ∩ B) = P(A) × P(B)

Dinamakan kejadian saling bebas.


Soal No. 6
Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja. Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah...
A. 1/24
B. 1/12
C. 1/8
D. 2/3
E. 5/6
(Modifikasi ebtanas 1994)

Pembahasan
A = kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan dadu.
Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Diperoleh
n(S) = 6
n(A) = 1
Sehingga P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka pada pelemparan uang logam.
Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A, G} dengan A = angka, G = Gambar
n(S) = 2
n(B) = 1
Sehingga P(B) = 1/2

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam dengan demikian adalah
P(A∩B) = P(A) × P(B)
= 1/6 × 1/2 = 1/12

Soal No. 7
Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah....
A. 16/273
B. 26/273
C. 42/273
D. 48/273
E. 56/273
(Teori peluang - un 2006)

Pembahasan
10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk, artinya 8 yang bagus.
15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk, artinya 12 yang bagus.



A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A.
B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari keranjang B.

Menentukan peluang dari kejadian A
Pengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak cara (titik sampel)  sejumlah


Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah


Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A


Menentukan peluang dari kejadian B
Pengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak cara sejumlah


Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah


Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari keranjang B


Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B



8. Nilai n yang memenuhi untuk nP5 = 9. (n-1)P4 ? Penyelesaian:
Morsmordre1716Jadi nilai n = 9.

9. Jika (n+2)C5 = 2. (n+1)C4. Maka nilai dari 2n + 3 adalah…
Penyelesaian:
Morsmordre1717Didapat nilai n = 8. Jadi nilai 2n + 3 = 2.8 + 3 = 19.

10. Buktikan mengapa 0! = 1 ?
Penyelesaian:
Seperti yang kita tahu, misalnya:
4! = 4x3x2x1
6! = 6x5x4x3x2x1
1! = 1.
Dengan beberapa contoh ini dapat disimpulkan bahwa:
n! = n x (n – 1)!
Kemudian kita dapat bagi setiap sisi dengan n.
n!/n = [n x (n – 1)!]/n
n!/n = (n – 1)!
Nah kemudian coba subtitusi nilai n = 1. Maka:
n!/n = (n – 1)!
1!/1 = (1 – 1)!
1 = 0!
0! = 1     —–> terbukti.

( sumber : https://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/10/soal-dan-pembahasan-permutasi-kombinasi-dan-peluang-1-6/ )

Minggu, 06 September 2015

Materi Peluang

PELUANG

  • Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
    1. Kaidah Pencacahan
      Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..
    2. Faktorial
      Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
      n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
      atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1
    3. Permutasi
      Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) atau P atau Pn,r
      • Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
      • Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
        P(n,r)
      • Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
        p_unsur_sama
      • Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
        P = (n – 1)!
    4. Kombinasi
      Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
      disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) atau C atau Cn,r
      Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
      C(n,r)
    5. Binomial Newton
      binomial_newton
  • Peluang Suatu Kejadian
    1. Dalam suatu percobaan :
      • Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
      • Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
      • Hasil yang diharapkan disebut kejadian
    2. Definisi Peluang
      Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
      terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
      Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
      Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian
    3. Frekuensi Harapan
      Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
      Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : Fh(A) = n x P(A)
    4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
      Jika Ac kejadian selain A, maka P(A)c = 1 – P(A) atau
      P(A)c + P(A) = 1
      P(A)c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A
  • Kejadian Majemuk
    1. Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku : P_umum
    2. Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
      Jika p_lps_0 maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
      Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah : P_lepas
    3. Peluang dua kejadian saling bebas
      Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
      Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan : P_bebas
    4. Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
      Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
      maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
      Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan : P_bersyarat   

(sumber : https://mtksmampsw.wordpress.com/kelas-xi/kelas-xi-ipa-semester-i/peluang/ )